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THEMA: Zur Vorbereitung auf den Pi-Day: π – die berühmteste Zahl der Welt!

Zur Vorbereitung auf den Pi-Day: π – die berühmteste Zahl der Welt! 1 Woche 3 Tage her #684

Am 14. März ist der internationale Tag der Zahl Pi. Weltweit huldigen Mathematik-Fans an diesem Tag der Kreiszahl, so auch Prof. Dr. László Székelyhidi vom Lehrstuhl für Angewandte Mathematik der Universität Leipzig.


Herr Székelyhidi, was macht Ihrer Meinung nach die Faszination dieser Zahl aus?


Székelyhidi: Seit Beginn der Zivilisation bis in unsere Zeit übt die Kreiszahl Pi eine große Faszination auf die Menschen aus. Einerseits hat die Zahl Pi einen sehr anschaulichen und natürlichen Ursprung, sie beschreibt das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Andererseits wissen wir längst nicht alles über diese Zahl, obwohl wir sie bis zu Hunderten von Billionen von Dezimalstellen berechnen können. Erst 1888 konnte eine bestimmte Eigenschaft über Pi nachgewiesen werden, die dann zur Lösung des berühmten Problems der Quadratur des Kreises führte. Und auch heute wissen wir nicht: Ist die Reihenfolge der Dezimalstellen aus statistischer Sicht rein zufällig oder verbergen sich dahinter doch geheimnisvolle Gesetzmäßigkeiten?

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(Bild: Swen Reichhold/Universität Leipzig)

Wo wird die Zahl Pi heute noch angewendet?

Eigentlich überall. Zumindest in den Naturwissenschaften und natürlich in der Mathematik. Denken wir nur einmal an die Fourieranalyse, eine der wichtigsten mathematischen Standardmethoden unserer Zeit, ohne die die digitale Kommunikation undenkbar wäre. Sie beruht auf der Zerlegung von Funktionen, Datenreihen oder Signalen in elementare Wellen, die wiederum mithilfe der Zahl Pi beschrieben werden.

Was bedeutet Pi für Sie persönlich?

Meine Lieblingsformel ist: e^(iπ)+1=0. Sie vereint auf einen Schlag gleich fünf der wichtigsten Zahlen in der Mathematik.

Quelle: Pressemitteilung der Universität Leipzig, 09.03.17
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Zur Vorbereitung auf den Pi-Day: π – die berühmteste Zahl der Welt! 2 Wochen 2 Tage her #681

Fast jede(r) hat schon einmal von ihr gehört: die Kreiszahl π (sprich: Pi), sie gibt das Verhältnis zwischen Durchmesser und Umfang eines Kreises an.

Egal wie groß ein Kreis ist, der Umfang ist immer 3,141592... mal größer als sein Durchmesser. Die Frage, welchen Wert π genau hat, hat schon die Menschen in der Antike beschäftigt.

Für praktische Zwecke, zum Beispiel bei der Konstruktion der Räder eines Wagens, wurde häufig die grobe Schätzung π ≈ 3 verwendet. Sehr früh war aber auch klar, dass das Verhältnis eigentlich etwas mehr als 3 beträgt. Für dieses „etwas mehr“ gab es in unterschiedlichen Kulturen unterschiedliche Schätzungen: Die Babylonier gaben π mit 3,125 an, im alten Ägypten galt die Schätzung π ≈ 3,1605. Eine verhältnismäßig genaue Schätzung stammt vom indischen Mathematiker Aryabhata aus dem Jahr 498 v. Chr. mit π ≈ 3,1416.

Der griechische Mathematiker Archimedes (287 v. Chr – 212 v. Chr.) versuchte die Zahl π durch die Annäherung des Kreises durch regelmäßige Vielecke zu bestimmen. Dazu berechnete er zunächst den Umfang des regelmäßigen 6-Ecks, dessen Ecken auf einem Kreis mit Durchmesser 1 liegen.

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Anschließend verdoppelte er die Anzahl der Ecken und berechnete den Umfang des 12-Ecks, dessen Ecken wieder auf einem Kreis mit Durchmesser 1 liegen. Diesen Schritt wiederholte er mehrmals und berechnete den Umfang des 24-, 48- und schließlich des 96-Ecks. Dadurch, dass die Vielecke im Inneren des Kreises liegen, ist der Umfang der Vielecke immer ein bisschen kleiner als der Umfang des Kreises. Aber: Je größer die Eckenzahl, desto näher kommen sich die beiden Werte. Genauso berechnete Archimedes den Umfang des 6-, 12-, 24-, 48-, und 96-Ecks, das einen Kreis mit Durchmesser 1 einschließt. Für diese Vielecke ist der Umfang zwar immer etwas größer als der des Kreises, aber auch hier kommen sich die beiden Werte näher, je mehr Ecken das Vieleck hat. Durch dieses Prinzip konnte Archimedes eine obere und untere Schranke für den Wert von π angeben.

Das Prinzip des Archimedes wurde in den darauffolgenden Jahrhunderten von anderen Mathematikern aufgegriffen und verfeinert. Für immer größere Eckenzahlen wurde der Umfang berechnet, sodass es immer bessere Schätzungen für den Wert von π gab.

Heutzutage wissen wir, dass π irrational ist. Das heißt, die Zahl π hat unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht periodisch wiederholen. Inzwischen sind über 13 Billionen Nachkommastellen bekannt, allerdings werden für die Berechnung mittlerweile andere Methoden verwendet. Für die meisten Anwendungen reichen 50 Nachkommastellen übrigens völlig aus. So benötigt man zum Beispiel für die Berechnung des Umfangs des Universums nur 38 Nachkommastellen. Dennoch kann die Berechnung von mehreren Billionen Nachkommastellen sinnvoll sein, etwa um die Leistungsfähigkeit von Computern zu testen.

Obwohl wir heute viel über die Zahl π und ihre Eigenschaften wissen, gibt es noch offene Fragen. Zum Beispiel ist nicht klar, ob π eine sogenannte normale Zahl ist, bei der nach dem Komma alle gleich langen Ziffernfolgen gleich häufig vorkommen. So würde bei einer normalen Zahl, z.B. die Ziffernfolge „3342“ ebenso häufig vorkommen wie „7023“ (weil beide Ziffernfolgen vier Stellen haben) und die Ziffernfolge „1234567“ genauso häufig wie „9999999“ (weil beide Ziffernfolgen sieben Stellen haben). Die meisten Mathematiker vermuten, dass π eine normale Zahl ist, denn die bisher berechneten Stellen sprechen dafür. Aber da π unendlich viele Nachkommastellen hat, ist das natürlich kein Beweis.

Quellen:
http://scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2013/02/25/pi-mehr-als-39-stellen-sind-luxus/
de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl
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